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MATEMáTICA VIVA MATEMáTICA VIVA Compensa ir de Portugal até Espanha para atestar o depósito? ter?a-feira, mar?o 15, 2016 , publicada por Jo?o Pimentel Ferreira Com o aumento dos combustíveis em Portugal devido ao aumento da fiscalidade sobre os produtos petrolíferos, coloca-se a quest?o pertinente de saber até que ponto compensará ir até Espanha para atestar o depósito do veículo. A fórmula geral para a poupan?a é a seguinte: é intuitivo apercebermo-nos que quanto mais longe o condutor do veículo estará da fronteira, menos compensará a referida viagem. Assim, a primeira parte da parcela Tqx(Pcp-PcE) faz referência ao ganho pelo facto de haver um diferencial entre os pre?os dos dois lados da fronteira e a segunda parcela com sinal negativo faz referência ao custo da opera??o de ir até à fronteira atestar o depósito e posteriormente regressar até ao local de partida. Ou seja, é necessário fazer a viagem de ida-e-volta, e multiplicá-la pelo consumo do veículo, dividindo posteriormente por 100 para sabermos quantos litros de combustível s?o necessários para fazer a referida viagem de ida-e-volta até ao posto de abastecimento espanhol. Posteriormente será necessário multiplicar o referido valor pelo pre?o do combustível em Espanha, pois parte-se do pressuposto que o condutor já partiria de Portugal com o veículo fazendo uso de combustível espanhol. Parte-se ainda do princípio que o veículo chega com o tanque vazio ao posto espanhol e que os custos por km percorrido se resumem ao combustível. Apresenta-se de seguida o gráfico que relaciona a poupan?a com a distancia até à fronteira para algumas condi??es comuns do grande público e dos pre?os correntes dos combustíveis à data de mar?o de 2016. Sem comentários: Que achaste? Entender os escal?es do IRS e do IRPF quinta-feira, mar?o 03, 2016 , publicada por Jo?o Pimentel Ferreira Todos temos bem presente, infelizmente, que em Portugal e no Brasil, a Matemática desde Pedro Nunes, nunca mais recebeu o esplendor de outros áureos tempos. Tal patente iliteracia numérica de uma larga maioria da popula??o, aliada à dissemina??o da democracia popular e por vezes circense, tem como consequência a pobreza, a corrup??o, os baixos salários e uma economia pouco pujante. Mas se é um facto que o povo é por norma matematicamente iletrado, mais grave ainda, é atestar, que alguma classe política supostamente douta e academicamente letrada, envereda por sofismas matemáticos e ideológicos, apenas para obter dividendos políticos. Um dos grandes sofismas do debate político, é de natureza fiscal, e dá pelo nome de escal?es do IRS, ou escal?es do IRPF (Imposto de Renda de Pessoa Física, no Brasil). Analise-mo-lo! Três teoremas Come?arei por estabelecer três pequenos teoremas, os quais demonstrarei posteriormente. O IRS é sempre progressivo independentemente do número de escal?es. O IRS é sempre progressivo em percentagem para um número de escal?es superior a dois. Um maior número de escal?es n?o implica maior progressividade fiscal. Teorema número 1 Podemos afirmar, que caso houvesse apenas um escal?o de IRS, ou seja, uma percentagem fixa que cada um pagava de imposto dos seus rendimentos, que mesmo nesse caso, poderíamos dizer que o imposto era progressivo à luz da norma constitucional, mais precisamente o n.o 1 do artigo 104.o da Constitui??o da República Portuguesa que refere que "o imposto sobre o rendimento pessoal visa a diminui??o das desigualdades e será único e progressivo, tendo em conta as necessidades e os rendimentos do agregado familiar". Caso o IRS fosse ent?o, por exemplo 10% para todos os contribuintes, ou seja uma taxa fixa para qualquer rendimento, já era, de facto, progressivo, pois alguém que ganhasse 1000€ por mês pagaria 100€ e alguém que ganhasse 10000€ pagaria 1000€. Neste caso mais simples, estamos perante uma opera??o linear, ou seja, uma reta diagonal que passa pela origem, num gráfico onde o eixo horizontal poderia ser o rendimento coletável, e o eixo vertical o valor que era de facto pago pelo contribuinte. Valor de imposto realmente pago para taxa fixa de 10%. O pagamento real já é progressivo em fun??o dos rendimentos. Demonstrámos assim que para um número de escal?es igual a 1, ou seja, uma taxa fixa, o IRS já seria progressivo. Este princípio fiscal remonta à época bíblica, com a institui??o do denominado dízimo, onde cada membro deveria pagar 10% dos seus rendimentos, tendo-se assim já em conta a capacidade contributiva do contribuinte. Alguns países, como a Rússia, aplicam este modelo fiscal, ou seja, aplicam apenas uma taxa fixa para todos os rendimentos, sendo como explanámos, a taxa??o já enquanto tal, progressiva. Teorema número 2 Consideremos mesmo assim a progressividade, n?o do ponto de vista nominal, ou seja, aquilo que cada contribuinte realmente paga, mas do ponto de vista percentual, ou seja, a percentagem real do seu rendimento, que o contribuinte realmente paga de imposto. E demonstra-se que com dois escal?es, o IRS, mesmo percentualmente, já é progressivo. Caso demonstremos que para dois escal?es o IRS é progressivo, deduz-se facilmente por inferência, que o IRS também é progressivo, para qualquer número de escal?es maior que dois. Imaginemos ent?o que existem dois escal?es de IRS, um de 10% até 1000€ por mês (uso o período mensal por quest?es de simplicidade), e outro de 20% a partir de 1000€ por mês. Alguém por exemplo que ganhasse 1500€ pagaria 10% pelos primeiros 1000€ e 20% pelos 500€ adicionais, ou seja, pagaria 200€: Na realidade, este contribuinte teve uma taxa real de 200€/1500€, ou seja de 13,3%. Podemos ainda estabelecer a equa??o geral, referindo que o valor pago de IRS a aplicar nesta combina??o de escal?es é: Onde r é o rendimento coletável do contribuinte e v(r) é o valor em dinheiro que o contribuinte paga de imposto. Até 1000€ o contribuinte paga sempre apenas 10% do seu rendimento. A partir de 1000€, o contribuinte paga sempre pelo menos 100€ fixos, que é os 10% de 1000€, acrescidos de 20% do valor restante, ou seja, 20% do valor que acresce aos 1000€. Neste caso temos o seguinte gráfico: Valor realmente pago. Dois escal?es. O primeiro escal?o até 1000€ de 10%, O segundo escal?o a partir de 1000€ de 20% Se quisermos todavia fazer o cálculo da percentagem real que o contribuinte paga, teremos de dividir o valor total de imposto pago, pelo valor do rendimento coletável, ou seja, a fórmula anterior fica a seguinte: onde p(r) é o valor real em percentagem de IRS realmente pago. No exemplo em apre?o, ficamos com o seguinte gráfico: Valor percentual realmente pago. 10% até 1000€. O segundo escal?o é de 20%, mas aplica-se os 20% apenas sobre a parcela do salário, que supera os 1000€. Fa?amos outro caso extremo com dois escal?es, ou seja, apesar do uso de dois escal?es, um sistema altamente progressivo. O primeiro escal?o até 500€ com uma taxa de 5%, e um segundo escal?o 30% a partir desse valor. Valor percentual realmente pago. 5% até 500€. O segundo escal?o é de 30%, mas aplica-se os 30% apenas sobre a parcela do salário, que supera os 500€. Neste caso, apesar de termos apenas dois escal?es, verifica-se que o valor pago de imposto, mesmo analisando-o apenas do ponto de vista percentual, é realmente bastante progressivo. Teorema número 3 A forma mais fácil para demonstrar o Teorema 3, visto que é um teorema que está postulado na negativa, é demonstrar um caso onde um maior número de escal?es comporte menor progressividade fiscal. Regressemos ao gráfico anterior, onde se apresentou um caso com dois escal?es, o primeiro até 500€ e de 5% e o segundo de 30% para valores superiores a 500€. O resultado do valor percentual realmente pago, apresentou-se nesse gráfico. Se porventura apresentarmos um gráfico com um número de escal?es superior onde se verifique menor progressividade fiscal, o teorema ficaria automaticamente demonstrado, visto que o mesmo está postulado na negativa. Imaginemos ent?o um exemplo com três escal?es, o primeiro escal?o até 500€ com uma taxa de 5%, um segundo escal?o de 7% entre 500€ e 1500€, e um terceiro escal?o de 10% a partir de 1500€. Neste caso, com um maior número de escal?es, ou seja, três em vez de dois, a progressividade do imposto seria bem menor, como pode ser observado no seguinte gráfico: Sistema com três escal?es. 1.o de 5% até 500€. 2.o de 7% entre 500€ e 1500€ e 3.o de 10% a partir de 1500€. A progressividade é mais baixa que no caso anterior com dois escal?es. Conclus?o Engane-se o eleitor que considere que os políticos s?o socialmente mais justos por aumentarem o número de escal?es do IRS ou do imposto de Renda. Mais importante que o número de escal?es, para a progressividade fiscal, é a sua estrutura e configura??o. Em acréscimo, parece-me que essa dialética sofista tem sido usada, para aumentando o número de escal?es e por conseguinte ludibriar o eleitorado sobre a justeza deste tipo de a??es, de facto, aumentar-se na globalidade este imposto, mexendo nas taxas. Reparemos na real taxa de IRS paga em Portugal nos anos de 2012 e 2013, num gráfico que produzi e partilhei na Wikimédia. Independentemente do número de escal?es, que diminuíram em 2013 em rela??o a 2012, como pode ser visto pelo inferior número de tro?os, o mais importante é o valor percentual dos mesmos. 2013 foi o ano em que o ministro das finan?as de ent?o Vitor Gaspar, em clima de austeridade, referiu que haveria um "enorme aumento de impostos". Fa?o por conseguinte um apelo à classe política para que n?o altere o número de escal?es do IRS, pois aumenta a entropia e a confus?o junto do eleitorado, e caso queira obter mais ou menos receita fiscal, que se limite a alterar o valor das taxas, assim como os seus limites. Qualquer argumentário que se preze por ser socialmente mais justo apenas com o aumento do número de escal?es, ou economicamente mais liberal apenas com a sua redu??o, é um argumentário extremamente redutor e na maioria dos casos, demagógico. Sem comentários: Que achaste? O paradoxo do acondicionamento de esferas quarta-feira, outubro 14, 2015 , publicada por Fernando Martins Todos sabemos que os paradoxos s?o objetos estranhos. Normalmente n?o gostamos muito de paradoxos porque n?o percebemos bem o que a natureza nos quer dizer com eles. Neste exemplo, a no??o de distancia é a usual euclidiana; as esferas s?o centradas num ponto e têm um raio constante; os cubos s?o de angulos retos e de unidades normalizadas. Espa?o bidimensional Para simplificar, partimos do exemplo 2D, onde 22=4 circunferências est?o centradas nos pontos {(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)} e cada uma tem raio r=1, compactamente acondicionados e inscritos num quadrado 4x4 centrado em (0,0). é sempre possível encaixar o círculo vermelho centrado em O=(0,0) inscrito e portanto tangente às 4 circunferências. Aqui o raio do círculo vermelho é menor do que meio lado do quadrado L=4/2=2, e por isso o círculo vermelho está contido no quadrado. Todavia, qual é o raio do círculo vermelho? O Teorema de Pitágoras (T.P.) aqui diz-nos que a distancia de O ao centro de cada uma das 4 circunferências é . Como cada circunferência tem raio r=1, ent?o o círculo vermelho tem raio menor que L=2. Espa?o tridimensional No caso de dimens?o 3D, onde as circunferências passam a esferas teremos 23=8 esferas centradas nos pontos {(1,1,1),(1,1,-1),(1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1)} e cada uma tem raio r=1, compactamente acondicionadas e inscritas num cubo 4x4x4. é sempre possível encaixar uma esfera púrpura centrada em O=(0,0,0) inscrita e portanto tangente às 8 esferas. Aqui o raio da esfera púrpura é menor do que meia aresta do cubo L=4/2=2, e por isso a esfera púrpura está contida no cubo. Todavia, qual é o raio da esfera púrpura? Mais uma vez podemos responder, com o apoio do T.P., referindo que a esfera púrpura tem raio , ou seja a esfera púrpura tem um raio menor que L=2. E para esferas no espa?o hiperdimensional? No caso de dimens?o 9D, onde as esferas passam a hiper-esferas em 9D teremos 29=512 hiper-esferas centradas nos pontos {(1,1,1,1,1,1,1,1,1),(1,1,1,1,1,1,1,1,-1), ... ,(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1),(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1)} e cada uma tem raio r=1, compactamente acondicionadas e inscritas num hipercubo 4x4x4x4x4x4x4x4x4. é sempre possível encaixar uma hiper-esfera negra centrada em O=(0,0,0,0,0,0,0,0,0) inscrita e portanto tangente às 512 hiper-esferas. Aqui ocorre o início do paradoxo. O raio da hiper-esfera negra é igual à meia aresta L do hipercubo, sendo L=4/2=2, e por isso a hiper-esfera negra está contida no cubo mas é tangente também a ele. Todavia qual é o raio da hiper-esfera negra? Mais uma vez podemos responder, com o apoio do T.P., concluindo que a hiper-esfera negra terá um raio igual a: A partir da nona dimens?o em diante, ou seja, para n>9, constata-se todavia que e por isso a hiper-esfera negra ultrapassará os limites das faces do hipercubo que contém as 2n hiper-esferas e que inscrevem a hiper-esfera negra. Esta extravasa??o das faces do hipercubo em nD, acabará por envolver e imergir o hipercubo, fazendo-o quase desaparecer dentro da hiper-esfera negra. A partir de n=9 em diante, o raio da hiper-esfera interior, extravasa a face do hipercubo Todavia, interessantemente, como cada um dos 2n vértices do hipercubo está à distancia da origem O, de os vértices do hipercubo estar?o sempre mais longe da Origem do que os centros das hiper-esferas est?o à origem. Por isso, ao acrescentarmos dimens?es, a hiper-esfera negra continuará se expandindo contra os vértices nunca extravasando nenhum, porque cada hiper-esfera emparelha com cada um dos vértices do hipercubo. A hiper-esfera negra extravasa as faces do hipercubo por entre os interstícios das hiper-esferas. Sem comentários: Que achaste? Como a austeridade colocou um forte trav?o na dívida pública quinta-feira, agosto 13, 2015 , publicada por Jo?o Pimentel Ferreira Ouvimos muita gente no dia-a-dia mencionar algo sobre a dívida pública sem realmente perceber muito bem como funciona nem sequer como é calculada. Em acréscimo nas quest?es fraturantes com referência ao antigo Primeiro-Ministro José Sócrates e às políticas de austeridade dos últimos anos, as opini?es da rua e dos espa?os de comentários na Internet, assim como de muitos agentes da classe política, tornam-se mais acesas e mais dicotómicas, todavia por vezes ainda mais ruidosas e confusas. Quase toda a gente na pra?a pública fala da dívida pública, desde jornalistas, políticos, comentadores, economistas e até eleitores comuns. Se por um lado tal é positivo, pois real?a que a popula??o em geral no exercício da sua cidadania considera este indicador importante, por outro lado o interesse do público gera também muita desinforma??o que convém todavia esclarecer matematicamente. Na Matemática Viva somos totalmente apartidários, queremos deixar isso bem vincado, mas como sempre referimos achamos que é importante vivificar a matemática em Portugal, tornando o eleitor mais esclarecido. Assim sendo, demonstrarei matematicamente que as políticas de austeridade na realidade colocaram um forte trav?o na dívida pública. Um sistema dinamico: o automóvel de dois lugares A dívida pública como muitos indicadores económicos representa um sistema dinamico, ou seja, estamos perante um sistema que obedece a uma inércia, neste caso uma inércia económica-financeira. Foi Newton um dos primeiros estudiosos dos sistemas dinamicos e a usar cálculos variacionais para os estudar. Num paralelismo no dia-a-dia, o sistema dinamico mais elementar que podemos fornecer ao comum dos leitores é o de um automóvel de dois lugares, que partiu da origem de uma determinada pista sempre a direito. Se por acaso num determinado instante trocarmos de condutor, e este quiser parar o avan?o para voltar para trás, a paragem n?o é imediata. Ao travar, a velocidade vai abrandando, todavia mesmo com a diminui??o da velocidade, o automóvel n?o deixa de avan?ar para a frente. Nesse movimento de travagem, em que a velocidade, ou seja, a varia??o do espa?o, diminui a cada instante, a acelera??o é constante e negativa, pois o automóvel está a travar. Essa acelera??o negativa que é sempre constante representa na realidade a varia??o da velocidade. Como a velocidade varia de forma regular e linear, a acelera??o, que representa a varia??o da velocidade, é constante. Reparem que uso aqui a acelera??o mesmo considerando que o automóvel está a parar, pois quando um carro para, está matemática e fisicamente a acelerar negativamente. Resumindo: a velocidade é a varia??o do espa?o percorrido e a acelera??o é a varia??o da velocidade. Logo, a acelera??o é a varia??o de segunda ordem do espa?o percorrido. Mas vamos a um exemplo! No seguinte gráfico podemos ver como estas três variáveis interagem. Gráfico que combina distancia percorrida, velocidade e acelera??o. Entre os 0 e os 4 segundos: até cerca de 4 segundos o automóvel tem uma acelera??o constante que é 4 (n?o interessa para o efeito mencionar a unidade da acelera??o). Como a acelera??o é constante e de sinal positivo, o carro está a avan?ar e a velocidade aumenta de forma regular e linear (linha reta na velocidade). Por essa altura o espa?o percorrido aumenta também mas de forma quadrática (a curva que se nota no gráfico da distancia é quadrática até aos 4 segundos). Entre os 4 e os 7 segundos: no segundo tro?o, entre os 4 e os 7 segundos, o carro deixa de acelerar, pois a sua acelera??o é zero, o que significa que a velocidade se mantém constante (caso ideal sem atritos, como o vento). Como a velocidade se mantém constante, a distancia percorrida n?o deixa de aumentar, mas neste caso, como n?o se acelera, a distancia avan?a de forma linear (a reta no gráfico da distancia). Entre os 7 e os 15 segundos: imaginemos que a partir desse instante, perto dos 7 segundos, troca-se de condutor e que esse condutor está descontente com o caminho tomado e decide travar o automóvel. Nessa altura esse condutor ao travar aplica uma acelera??o negativa de 2, que faz com que a velocidade vá baixando de forma linear, mas o carro n?o come?a a andar de marcha-atrás de forma imediata. Vai ser necessário que o carro chegue até aos 150 metros, nos 15 segundos, para que o carro pare. Entre os 15 e os 23 segundos: ent?o, ao continuar a aplicar uma acelera??o negativa (neste caso, já n?o o trav?o, mas a marcha-atrás), o veículo come?a a regressar à origem, e a velocidade come?a a ser negativa a partir dos 15 segundos. Deixo a interpreta??o do resto do gráfico aos leitores. A dívida pública é um sistema dinamico A dívida pública é um sistema dinamico porque qualquer variável de controlo que possa nela ser aplicada (os pedais no automóvel), est?o longe de provocar no instante varia??es significativas. Cortar nos gastos do Estado n?o implica que a dívida des?a de forma imediata, pois na dívida est?o subjacentes compromissos de longo prazo, como o pagamento de juros em títulos plurianuais da dívida. Se alguns pagamentos como as PPP rodoviárias foram temporizados para alguns anos mais tarde, tal também tem efeitos dinamicos na dívida. Podemos também afirmar de forma genérica que o Estado tem muitos compromissos financeiros, com muitas entidades, e que tal insere uma certa inércia no comportamento da dívida. Assim interessa estudar a dívida na ótica do estudo a sistemas dinamicos. Neste caso por quest?es de simplicidade usamos sistemas dinamicos discretos de segunda ordem, sendo cada ano civil a unidade de tempo. No paralelismo da dívida pública com o automóvel de dois lugares, podemos afirmar que a distancia na pista é o valor da dívida, ou seja, se o automóvel está na origem a dívida é zero, já se o automóvel está nos 160 metros, a dívida é 160 mil milh?es de euros, ou seja, um metro por cada mil milh?o de euros de dívida. Ora se num determinado instante em que os condutores avan?am, eles trocarem de lugares e o novo condutor adotar uma tática diferente, o automóvel guarda uma inércia que precisa de ser corrigida, inércia essa que demora tempo a corrigir. Se o segundo automobilista quiser parar e fazer marcha-atrás, terá primeiro de travar. Mas mesmo que trave o automóvel, este continuará durante algum tempo no sentido positivo, ou seja, em frente (dívida a crescer, mas a crescer num ritmo mais baixo; automóvel a avan?ar, mas a avan?ar mais devagar). Só quando o automóvel estiver imobilizado, ou seja, a varia??o do avan?o for zero (varia??o do avan?o é a velocidade), é que o automóvel pode retornar e come?ar a fazer marcha-atrás. Nesta contabilidade n?o se tem em conta ainda a varia??o do PIB, mas apenas o valor absoluto da dívida. Também n?o se contabilizam contabilidades paralelas (PPP, dívidas de empresas públicas), nem que mecanismos foram usados para baixar a dívida (por exemplo privatiza??es), fazemos apenas uma análise à dívida vista pelos valores que o PORDATA e o INE nos facultam. Resumindo, no caso do nosso automóvel, a distancia percorrida pelo automóvel representa o valor absoluto da dívida; a velocidade do automóvel representa a varia??o da dívida; e a acelera??o representa a varia??o de segunda ordem da dívida. Trajeto percorrido pela dívida pública desde 1992. Velocidade de crescimento da dívida pública. A austeridade baixou a velocidade de crescimento da dívida. Acelera??o de crescimento da dívida pública. A austeridade travou a dívida ao impor-lhe uma tendência dinamica de redu??o. Caso o caro leitor tenha percebido a forma como funcionam estes sistemas dinamicos (de segunda ordem), compreende de forma cristalina pelos gráficos acima que a austeridade imp?s um forte trav?o na dívida pública. No primeiro ano do governo Sócrates, houve um acelera??o da dívida, fenómeno que foi travado no segundo e terceiro anos, mas que foi novamente acelerado em ano eleitoral. Com a crise das dívidas soberanas em meados de 2008, a acelera??o da dívida toma valores muito elevados em 2009, valores que se mantêm em 2010. Todavia conclui-se facilmente pelo gráfico que desde a entrada do governo seguinte que imp?s políticas de austeridade, que a "velocidade" da dívida tem vindo sempre a diminuir, e que a "acelera??o" da dívida é mesmo negativa. A partir de 2015 a velocidade da dívida é mesmo negativa e a dívida come?a a descer a sua trajetória, ou seja, come?a a diminuir. Usando o nosso paralelismo pode-se dizer de forma categórica e inequívoca que as políticas de austeridade colocaram um forte "trav?o" no comportamento da dívida pública. Ignorar tal facto é ignorar as ciências matemáticas. Sem comentários: Que achaste? A Física e a Matemática da distancia de travagem ter?a-feira, janeiro 13, 2015 , publicada por Jo?o Pimentel Ferreira A grande maioria dos automobilistas n?o tem a mínima no??o do impacto que a velocidade tem na seguran?a rodoviária, essencialmente em meios urbanos, mais precisamente para os utilizadores vulneráveis como pe?es e ciclistas. Farei essa demonstra??o física e matematicamente. No ponto A o condutor do veículo que se deslocava a uma velocidade v e de massa m, apercebe-se que tem um obstáculo na sua frente, que o obrigará a efetuar uma travagem de emergência, ou a fundo. Todavia a rea??o n?o é instantanea, e apenas quando o veículo toca o ponto B, o condutor come?a realmente a travar a fundo, havendo por conseguinte uma For?a de atrito dinamico Fa contrária à velocidade. O veículo só parará no ponto C, estando o pe?o/pedestre no ponto P. Pela leis da mecanica clássica, sabemos que a velocidade é dada por que significa que v será a distancia entre os pontos A e B dividida sobre o tempo que decorreu entre esses mesmos dois pontos. Se considerarmos que o condutor do veículo tem um tempo de rea??o entre os pontos A e B de tr segundos, podemos reescrever Pelas leis da mecanica clássica também sabemos que a Energia Cinética Ec do veículo no ponto B é Ao ao longo do trajeto em que o veículo abranda, é exercida uma For?a de atrito dinamico Fa, pois existe uma for?a de fric??o, que é contrária à velocidade do veículo. As for?as de atrito dinamico s?o praticamente independentes da velocidade. Adotamos por quest?es de simplifica??o, o caso em que as rodas literalmente bloqueiam. Na realidade, as rodas n?o bloqueiam totalmente através de sistemas de travagem como o ABS, mas ignoraremos para já tais sistemas por raz?es de simplifica??o. A For?a de atrito dinamico Fa depende do coeficiente de atrito dinamico μ dependendo também da for?a normal à superfície, ou seja, do peso do veículo, que neste caso é mg. Ent?o Do ponto B até ao ponto C, o trabalho Wa realizado pela For?a de atrito dinamico Fa será Esse trabalho terá de anular a Energia Cinética Ec que o veículo possuía no ponto B. Logo obtemos a seguinte equa??o concluindo que a distancia de travagem total D será Significa que a Distancia de travagem total D tem uma componente que é linear com a velocidade e outra que depende de forma quadrática da velocidade. Resumindo, a distancia de travagem total de um veículo em fun??o da velocidade é dada por onde tr é o tempo de rea??o do condutor, μ é o coeficiente de atrito dinamico entre os pneus e o pavimento e g é a acelera??o da for?a da gravidade. Esta distancia depende linearmente com a velocidade e com o tempo de rea??o do condutor, e quadraticamente com a velocidade. Pouco importa a marca ou o peso do veículo. Matematicamente é claro que os fatores que unicamente s?o importantes s?o a velocidade; o tempo de rea??o do condutor, que por exemplo aumenta bastante com o sono ou com o álcool; e o coeficiente de atrito dinamico μ que é fortemente afetado pela qualidade dos pneus, a meteorologia e a qualidade do pavimento. Imagem da prof. Raquel Ribeiro Interessa agora tentar aferir qual é o valor do coeficiente de atrito dinamico μ. Para tal iremos combinar a fórmula acima com alguns testes empíricos sobre distancias de travagem, considerando que os testes realizados n?o têm em conta o tempo de rea??o do condutor. Usaram-se as seguintes experiências obtidas de uma revista da especialidade. Tem-se como referência o veículo Porsche Carrera, um dos que apresenta melhor desempenho do mercado, no domínio da distancia de travagem. Considera-se ainda que a acelera??o da gravidade é g=10 ms-2 e que o tempo de rea??o do condutor nesta experiência é zero, pois as medidas foram efetuadas a partir do momento em que o veículo come?a a travar. é necessário ainda aplicar um fator divisor para converter km/h para m/s (1 m/s=3.6 km/h), unidade SI para medir velocidades. Assim, a fórmula fica onde vk é a velocidade em km/h e D é a distancia de travagem. Aplicando os valores obtidos para o teste efetuado com o Porsche Carrera, mas também para outros veículos mais comuns cujos testes a revista apresentava, obtemos a seguinte tabela. é aceitável ent?o, por quest?es de aproxima??o, adotar doravante um coeficiente de atrito dinamico igual a μ=0,9. é possível ent?o criar um gráfico da Distancia de travagem D, em fun??o da velocidade vk, velocidade apresentada em km/h. Na seguinte imagem 3D, que compara a distancia de travagem D (eixo vertical z), com o tempo de rea??o tr (eixo x, num intervalo entre meio segundo e 3 segundos) e a velocidade v (eixo y, num intervalo entre 0 e 50 km/h), pode-se constatar que quer a velocidade, quer o tempo de rea??o, tomam um papel muito importante na distancia de travagem. O coeficiente de atrito dinamico foi estabelecido em μ=0,9. Distancia de travagem em fun??o da velocidade e tempo de rea??o D=z ; y=v=[0,50]km/h ; x=tr=[0.5,3] segundos ; μ=0,9 Já todavia no seguinte gráfico 3D que compara a distancia de travagem D (eixo vertical z), com o coeficiente de atrito dinamico μ (num intervalo entre 0.3 e 1) e a velocidade v (num intervalo entre 0 e 50 km/h), pode-se constatar que o estado do pavimento ou a qualidade dos pneus (μ), s?o fatores extremamente importantes na distancia de travagem, mas essencialmente para velocidades mais elevadas. Repare-se que ao longo do plano v=20km/h a altura D=z pouca varia com a qualidade do pavimento e dos pneus (μ), mas ao longo do plano v=50km/h a qualidade dos pneus e do pavimento (μ) tomam um papel fulcral na distancia de travagem (D). Distancia de travagem em fun??o da velocidade e coeficiente de atrito dinamico D=z ; v=[0,50]km/h ; μ=[0.3,1] ; tr=1s Conclus?o A distancia de travagem varia substancialmente com a velocidade a partir de pequenas velocidades de cerca de 20 km/h. Considerando ainda que a Energia Cinética de um veículo varia com o quadrado da velocidade e é um dos fatores mais importantes para a fatalidade de utilizadores vulneráveis como pe?es ou ciclistas, o autor aconselha o legislador para que imponha sérios limites em termos de velocidade de veículos, essencialmente em meios com elevada densidade populacional, como zonas urbanas residenciais. é por isso essencial que as autoridades de preven??o rodoviária implementem medidas que melhorem consideravelmente a fiscaliza??o das velocidades praticadas e medidas de acalmia de tráfego, nomeadamente o estabelecimento de zonas 30. A qualidade dos pneus e o do pavimento, tomam também um papel extremamente importante na distancia de travagem, mas essencialmente para velocidades acima dos 30 km/h como pode ser constatado no último gráfico, o que enfatiza o facto, de ser deveras importante diminuir os limites de velocidade em meios onde existe elevada concentra??o de pessoas. Sem comentários: Que achaste? Mensagens antigas Página inicial Subscrever: Mensagens (Atom) Autores Ana Maria Barreto (3) Ana Silva (2) Carlos Daniel (2) Fernando Martins (7) Francisco Cabral (3) Jo?o Pimentel Ferreira (64) Jo?o Torgal (2) José Sousa (1) Marco Tavares Pereira (5) Nuno Lima (1) Visitas Caixa para fórmulas LaTex Dúvidas a Matemática? Respondemos gratuitamente no fórum! As mais lidas de sempre Milh?es, Mil milh?es, Bili?es ou Trili?es? Esclare?a a confus?o! Nota : Este artigo aplica-se só a Portugal, pois no Brasil as coisas ficam mais fáceis, devido á similaridade com os EUA da nota??o. N... Exames, testes e exercícios resolvidos de Análise Matemática I do ISEL Já está disponível na Matemática Viva como acervo pedagógico e de estudo, e para consulta pública dos estudantes, diversos exames resolvidos... Como distinguir Arranjos completos, Arranjos simples e Combina??es? 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Mas desde quando na evolu??o humana, come?ou a nossa espécie a tecer raciocínios abstractos matemáticos? Foi um passo bastante longo, moroso, mas foi um passo deveras importantíssimo na evolu??o do Homem; muito mais relevante que a inven??o do fogo ou da roda. O raciocínio abstracto é o que nos difere das outras espécies, para os crentes é uma dádiva divina que nos diferencia e nos torna superiores, para os incrédulos e laicos é somente um passo evolutivo devido às necessidades dos tempos e talvez mesmo por quest?es de sobrevivência. O que é certo é que a Matemática, e posteriormente a Filosofia e as Artes talvez tenham sido as primeiras ferramentas que o Homem concebeu com a sua capacidade de abstrac??o. Já na nossa era, os matemáticos tentaram-nos incutir uma Matemática extremamente racional e abstracta, muitas vezes sem quaisquer paralelismos com o mundo terreno. Talvez uma premoni??o, mas o que é certo é que o número um surgiu para representar um objecto físico. A matemática surgiu como uma necessidade do Homem no seu trajecto evolutivo, à medida que aumentava o seu volume craniano, foi sendo dotado de raciocínios algébricos. Se o Pensamento foi uma dádiva de Deus ou uma necessidade n?o o sabemos, mas é este que fez o Homem evoluir, é este que nos diferencia das outras espécies, foi este que nos levou a Marte, que criou a roda, e que nos fornece todas as panóplias quer frívolas, quer de grande utilidade, do nosso mundo moderno. A Matemática é Viva quando é processada por seres humanos, quando é intuitiva, quando a sentimos útil aos nosso pressupostos. Aliemos ent?o a Matemática, supostamente estritamente pura implicando assim ser apenas racional, à criatividade e sensibilidade humanas. é esta uni?o que torna a Matemática elegante Sendo elegante, A Matemática é Viva quando é Humana Pesquise na Matemática Viva A carregar... 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